ルジャンドル陪関数の微分方程式は、固有値λ＝ｎ（ｎ＋１）を固定すると、
ｍが－ｎから＋ｎまで変化した解を得る。
ここで、ｍを固定した場合、多数の固有値に対応する、微分方程式が存在するが、
解は多項式を含む関数列になる。この関数列を（ｓｉｎθ）＾ｍ*Ｒｎ.ｍとする。
応用として、球座標での３次元ベクトルのヘルムホルツの式が簡略化されて、
解き易い形になる。
＜ ルジャンドル陪関数 ＞
2010.05.07のヤフーブログに、
「ルジャンドル陪関数の変形と応用」がある。
関数列Ｑｎｍ（ｘ）＝（ｓｉｎθ）＾（ｍ-1）*Ｒｎ.ｍの解説で、
今回は、加筆して再掲する。
ラプラスの式を変数分離する。ｃｏｓｍφ の因数を持つとする。
ルジャンドルの陪関数 Ｇ の微分方程式は、
１／ｓｉｎθ*δ/δθ｛ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｇ｝｝
－ｍ＾2／（ｓｉｎθ）＾2*Ｇ
＋λ*Ｇ＝０ 。
Ｇ＝ｓｉｎθ*Ｑ とおく。
δ/δθ｛Ｇ｝＝ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｑ｝＋ｃｏｓθ*Ｑ 。
ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｇ｝＝
（ｓｉｎθ）＾2*δ/δθ｛Ｑ｝＋ｓｉｎθ*ｃｏｓθ*Ｑ 。
δ/δθ｛ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｇ｝｝＝
（ｓｉｎθ）＾2*δ2/δθ2｛Ｑ｝
＋２*ｓｉｎθ*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｑ｝
＋（１－２*（ｓｉｎθ）＾2）*Ｑ
＋ｓｉｎθ*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｑ｝ 。
与式は、
ｓｉｎθ*δ2/δθ2｛Ｑ｝
＋３*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｑ｝
＋（１－ｍ＾2）／ｓｉｎθ*Ｑ
＋（λ－２）*ｓｉｎθ*Ｑ＝０ 。
変形する。
Ｌ＝
δ/δθ｛ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｑ｝｝
＋２*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｑ｝
＋（１－ｍ＾2）／ｓｉｎθ*Ｑ
＋（λ－２）*ｓｉｎθ*Ｑ＝０ 。
Ｌ＝０ を解く。
＊＊＊＊
Ｑ＝（ｓｉｎθ）＾α*Ｒ とおく。
δ/δθ｛Ｑ｝＝
α*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*ｃｏｓθ*Ｒ
＋（ｓｉｎθ）＾α*δ/δθ｛Ｒ｝ 。
ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｑ｝＝
α*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*Ｒ
＋（ｓｉｎθ）＾（α+1）*δ/δθ｛Ｒ｝ 。
δ/δθ｛ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｑ｝｝＝
α＾2*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*（ｃｏｓθ）＾2*Ｒ
－α*（ｓｉｎθ）＾（α+1）*Ｒ
＋α*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋δ/δθ｛（ｓｉｎθ）＾（α+1）*δ/δθ｛Ｒ｝｝ 。
２*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｑ｝＝
２*α*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*（ｃｏｓθ）＾2*Ｒ
＋２*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝ 。
Ｌ＝
α＾2*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*（ｃｏｓθ）＾2*Ｒ
－α*（ｓｉｎθ）＾（α+1）*Ｒ
＋α*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋δ/δθ｛（ｓｉｎθ）＾（α+1）*δ/δθ｛Ｒ｝｝
＋２*α*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*（ｃｏｓθ）＾2*Ｒ
＋２*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋（１－ｍ＾2）／ｓｉｎθ*Ｑ
＋（λ－２）*ｓｉｎθ*Ｑ＝０ 。
Ｌ＝
α＾2*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*Ｒ
－α＾2*（ｓｉｎθ）＾（α+1）*Ｒ
－α*（ｓｉｎθ）＾（α+1）*Ｒ
＋α*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋（α+1）*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋（ｓｉｎθ）＾（α+1）*δ2/δθ2｛Ｒ｝
＋２*α*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*Ｒ
－２*α*（ｓｉｎθ）＾（α+1）*Ｒ
＋２*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋（１－ｍ＾2）*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*Ｒ
＋（λ－２）*（ｓｉｎθ）＾（α+1）*Ｒ＝０ 。
＊＊＊＊
（ｓｉｎθ）＾（α-1） の項を ０ にする。
ｍ＾2－１＝α＾2＋２*α 。
ｍ＾2＝（α＋１）＾2 。
α＞０ をとると、
α＝ｍ－１ と決まる。
このとき、Ｌ は、
Ｌ＝
－（ｍ－１）＾2*（ｓｉｎθ）＾ｍ*Ｒ
－３*（ｍ－１）*（ｓｉｎθ）＾ｍ*Ｒ
＋（２α＋３）*（ｓｉｎθ）＾（ｍ-1）*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋（ｓｉｎθ）＾ｍ*δ2/δθ2｛Ｒ｝
＋（λ－２）*（ｓｉｎθ）＾ｍ*Ｒ＝０ 。
δ2/δθ2｛Ｒ｝＋（２ｍ＋１）*ｃｏｓθ／ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋（λ－ｍ＾2－ｍ）*Ｒ＝０ 。
ｘ＝ｃｏｓθ とおく。
δ/δθ＝－ｓｉｎθ*δ/δｘ 。
δ2/δθ2＝（ｓｉｎθ）＾2*δ2/δｘ2－ｃｏｓθ*δ/δｘ 。
Ｒ（ｘ） の微分方程式として、
（１－ｘ＾2）*δ2/δｘ2｛Ｒ｝－（２ｍ＋２）ｘ*δ/δｘ｛Ｒ｝
＋（λ－ｍ＾2－ｍ）*Ｒ＝０ 。
を得る。
Ｒ（ｘ）＝ΣＡｎ*ｘ＾ｎ とおいて、級数解を求める。
Ａｎ*ｘ＾（ｎ-2）*ｎ（ｎ－１）＝
Ａｎ*ｘ＾ｎ*
「ｎ（ｎ－１）＋ｎ（２ｍ＋２）－λ＋ｍ＾2＋ｍ 」。
左辺の ｎ を ｎ＋２ とおく。
Ａｎ+2*ｘ＾ｎ*（ｎ＋２）（ｎ＋１）＝
Ａｎ*ｘ＾ｎ*
「ｎ（ｎ－１）＋ｎ（２ｍ＋２）－λ＋ｍ＾2＋ｍ 」。
λ＝ｎ（ｎ－１）＋ｎ（２ｍ＋２）＋ｍ＾2＋ｍ のとき、
Ｒ（ｘ） はｎ次の多項式となる。
固有値は、
λ＝（ｎ＋ｍ）（ｎ＋ｍ＋１） 。
Ｒｎ.ｍ と、Ｒｎ-1.ｍ+1 の λ は同一。（後で応用する）
ｎ＝ｎ0 とおいて、ｘ＾ｎ の最高次項より Ａｎ を求める。
Ａｎ-2＝Ａｎ*ｎ（ｎ－１）／｛（ｎ－２）（ｎ＋２ｍ－１）－ｎ0 （ｎ0＋２ｍ＋１）｝。
ｎ＝ｎ0 ｎ0－２ ｎ0－４ ・・
ｘ＾ｎ の最高次項の係数を Ａｎ0＝１／ｎ0！ とする。
具体的な形は、Ｒ0.ｍ（ｘ）＝１ Ｒ1.ｍ（ｘ）＝ｘ 。
Ｒ2.ｍ（ｘ）＝ｘ＾2／２－１／（４ｍ＋６） 。
Ｒ3.ｍ（ｘ）＝ｘ＾3／６－ｘ／（４ｍ＋１０） 。
ここで、Ｒ（ｘ） の微分方程式を観る。
（１－ｘ＾2）*δ2/δｘ2｛Ｒ｝－（２ｍ＋２）ｘ*δ/δｘ｛Ｒ｝
＋（λ－ｍ＾2－ｍ）*Ｒ＝０ 。
ｘ で微分する。
（１－ｘ＾2）*δ3/δｘ3｛Ｒ｝－（２ｍ＋４）ｘ*δ2/δｘ2｛Ｒ｝
＋（λ－ｍ＾2－ｍ－２ｍ－２）*δ/δｘ｛Ｒ｝＝０ 。
λ－ｍ＾2－ｍ－２ｍ－２
＝
λ－（ｍ＋１）＾2－（ｍ＋１） より、
δ/δｘ｛Ｒ｝ は、Ｒｎ-1.ｍ+1 に比例する。
Ａｎ0＝１／ｎ0！ と選ぶと、
δ/δｘ｛Ｒｎ.ｍ｝＝Ｒｎ-1.ｍ+1 の式を得る。
Ｒｎ.ｍ の漸化式を見つける必要がある。
＜ まとめ ＞
Ｇｎ.ｍ（ｘ）は、（ｓｉｎθ）＾ｍの因数を持つので、
今回は、θの関数として展開した。進歩である。19.08.17 ja3iyi
ｍが－ｎから＋ｎまで変化した解を得る。
ここで、ｍを固定した場合、多数の固有値に対応する、微分方程式が存在するが、
解は多項式を含む関数列になる。この関数列を（ｓｉｎθ）＾ｍ*Ｒｎ.ｍとする。
応用として、球座標での３次元ベクトルのヘルムホルツの式が簡略化されて、
解き易い形になる。
＜ ルジャンドル陪関数 ＞
2010.05.07のヤフーブログに、
「ルジャンドル陪関数の変形と応用」がある。
関数列Ｑｎｍ（ｘ）＝（ｓｉｎθ）＾（ｍ-1）*Ｒｎ.ｍの解説で、
今回は、加筆して再掲する。
ラプラスの式を変数分離する。ｃｏｓｍφ の因数を持つとする。
ルジャンドルの陪関数 Ｇ の微分方程式は、
１／ｓｉｎθ*δ/δθ｛ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｇ｝｝
－ｍ＾2／（ｓｉｎθ）＾2*Ｇ
＋λ*Ｇ＝０ 。
Ｇ＝ｓｉｎθ*Ｑ とおく。
δ/δθ｛Ｇ｝＝ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｑ｝＋ｃｏｓθ*Ｑ 。
ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｇ｝＝
（ｓｉｎθ）＾2*δ/δθ｛Ｑ｝＋ｓｉｎθ*ｃｏｓθ*Ｑ 。
δ/δθ｛ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｇ｝｝＝
（ｓｉｎθ）＾2*δ2/δθ2｛Ｑ｝
＋２*ｓｉｎθ*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｑ｝
＋（１－２*（ｓｉｎθ）＾2）*Ｑ
＋ｓｉｎθ*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｑ｝ 。
与式は、
ｓｉｎθ*δ2/δθ2｛Ｑ｝
＋３*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｑ｝
＋（１－ｍ＾2）／ｓｉｎθ*Ｑ
＋（λ－２）*ｓｉｎθ*Ｑ＝０ 。
変形する。
Ｌ＝
δ/δθ｛ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｑ｝｝
＋２*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｑ｝
＋（１－ｍ＾2）／ｓｉｎθ*Ｑ
＋（λ－２）*ｓｉｎθ*Ｑ＝０ 。
Ｌ＝０ を解く。
＊＊＊＊
Ｑ＝（ｓｉｎθ）＾α*Ｒ とおく。
δ/δθ｛Ｑ｝＝
α*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*ｃｏｓθ*Ｒ
＋（ｓｉｎθ）＾α*δ/δθ｛Ｒ｝ 。
ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｑ｝＝
α*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*Ｒ
＋（ｓｉｎθ）＾（α+1）*δ/δθ｛Ｒ｝ 。
δ/δθ｛ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｑ｝｝＝
α＾2*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*（ｃｏｓθ）＾2*Ｒ
－α*（ｓｉｎθ）＾（α+1）*Ｒ
＋α*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋δ/δθ｛（ｓｉｎθ）＾（α+1）*δ/δθ｛Ｒ｝｝ 。
２*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｑ｝＝
２*α*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*（ｃｏｓθ）＾2*Ｒ
＋２*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝ 。
Ｌ＝
α＾2*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*（ｃｏｓθ）＾2*Ｒ
－α*（ｓｉｎθ）＾（α+1）*Ｒ
＋α*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋δ/δθ｛（ｓｉｎθ）＾（α+1）*δ/δθ｛Ｒ｝｝
＋２*α*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*（ｃｏｓθ）＾2*Ｒ
＋２*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋（１－ｍ＾2）／ｓｉｎθ*Ｑ
＋（λ－２）*ｓｉｎθ*Ｑ＝０ 。
Ｌ＝
α＾2*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*Ｒ
－α＾2*（ｓｉｎθ）＾（α+1）*Ｒ
－α*（ｓｉｎθ）＾（α+1）*Ｒ
＋α*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋（α+1）*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋（ｓｉｎθ）＾（α+1）*δ2/δθ2｛Ｒ｝
＋２*α*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*Ｒ
－２*α*（ｓｉｎθ）＾（α+1）*Ｒ
＋２*（ｓｉｎθ）＾α*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋（１－ｍ＾2）*（ｓｉｎθ）＾（α-1）*Ｒ
＋（λ－２）*（ｓｉｎθ）＾（α+1）*Ｒ＝０ 。
＊＊＊＊
（ｓｉｎθ）＾（α-1） の項を ０ にする。
ｍ＾2－１＝α＾2＋２*α 。
ｍ＾2＝（α＋１）＾2 。
α＞０ をとると、
α＝ｍ－１ と決まる。
このとき、Ｌ は、
Ｌ＝
－（ｍ－１）＾2*（ｓｉｎθ）＾ｍ*Ｒ
－３*（ｍ－１）*（ｓｉｎθ）＾ｍ*Ｒ
＋（２α＋３）*（ｓｉｎθ）＾（ｍ-1）*ｃｏｓθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋（ｓｉｎθ）＾ｍ*δ2/δθ2｛Ｒ｝
＋（λ－２）*（ｓｉｎθ）＾ｍ*Ｒ＝０ 。
δ2/δθ2｛Ｒ｝＋（２ｍ＋１）*ｃｏｓθ／ｓｉｎθ*δ/δθ｛Ｒ｝
＋（λ－ｍ＾2－ｍ）*Ｒ＝０ 。
ｘ＝ｃｏｓθ とおく。
δ/δθ＝－ｓｉｎθ*δ/δｘ 。
δ2/δθ2＝（ｓｉｎθ）＾2*δ2/δｘ2－ｃｏｓθ*δ/δｘ 。
Ｒ（ｘ） の微分方程式として、
（１－ｘ＾2）*δ2/δｘ2｛Ｒ｝－（２ｍ＋２）ｘ*δ/δｘ｛Ｒ｝
＋（λ－ｍ＾2－ｍ）*Ｒ＝０ 。
を得る。
Ｒ（ｘ）＝ΣＡｎ*ｘ＾ｎ とおいて、級数解を求める。
Ａｎ*ｘ＾（ｎ-2）*ｎ（ｎ－１）＝
Ａｎ*ｘ＾ｎ*
「ｎ（ｎ－１）＋ｎ（２ｍ＋２）－λ＋ｍ＾2＋ｍ 」。
左辺の ｎ を ｎ＋２ とおく。
Ａｎ+2*ｘ＾ｎ*（ｎ＋２）（ｎ＋１）＝
Ａｎ*ｘ＾ｎ*
「ｎ（ｎ－１）＋ｎ（２ｍ＋２）－λ＋ｍ＾2＋ｍ 」。
λ＝ｎ（ｎ－１）＋ｎ（２ｍ＋２）＋ｍ＾2＋ｍ のとき、
Ｒ（ｘ） はｎ次の多項式となる。
固有値は、
λ＝（ｎ＋ｍ）（ｎ＋ｍ＋１） 。
Ｒｎ.ｍ と、Ｒｎ-1.ｍ+1 の λ は同一。（後で応用する）
ｎ＝ｎ0 とおいて、ｘ＾ｎ の最高次項より Ａｎ を求める。
Ａｎ-2＝Ａｎ*ｎ（ｎ－１）／｛（ｎ－２）（ｎ＋２ｍ－１）－ｎ0 （ｎ0＋２ｍ＋１）｝。
ｎ＝ｎ0 ｎ0－２ ｎ0－４ ・・
ｘ＾ｎ の最高次項の係数を Ａｎ0＝１／ｎ0！ とする。
具体的な形は、Ｒ0.ｍ（ｘ）＝１ Ｒ1.ｍ（ｘ）＝ｘ 。
Ｒ2.ｍ（ｘ）＝ｘ＾2／２－１／（４ｍ＋６） 。
Ｒ3.ｍ（ｘ）＝ｘ＾3／６－ｘ／（４ｍ＋１０） 。
ここで、Ｒ（ｘ） の微分方程式を観る。
（１－ｘ＾2）*δ2/δｘ2｛Ｒ｝－（２ｍ＋２）ｘ*δ/δｘ｛Ｒ｝
＋（λ－ｍ＾2－ｍ）*Ｒ＝０ 。
ｘ で微分する。
（１－ｘ＾2）*δ3/δｘ3｛Ｒ｝－（２ｍ＋４）ｘ*δ2/δｘ2｛Ｒ｝
＋（λ－ｍ＾2－ｍ－２ｍ－２）*δ/δｘ｛Ｒ｝＝０ 。
λ－ｍ＾2－ｍ－２ｍ－２
＝
λ－（ｍ＋１）＾2－（ｍ＋１） より、
δ/δｘ｛Ｒ｝ は、Ｒｎ-1.ｍ+1 に比例する。
Ａｎ0＝１／ｎ0！ と選ぶと、
δ/δｘ｛Ｒｎ.ｍ｝＝Ｒｎ-1.ｍ+1 の式を得る。
Ｒｎ.ｍ の漸化式を見つける必要がある。
＜ まとめ ＞
Ｇｎ.ｍ（ｘ）は、（ｓｉｎθ）＾ｍの因数を持つので、
今回は、θの関数として展開した。進歩である。19.08.17 ja3iyi
